在項(xiàng)目組合管理中，如何在確保實(shí)現(xiàn)企業(yè)戰(zhàn)略目標(biāo)的基礎(chǔ)上，兼顧各個(gè)項(xiàng)目的計(jì)劃目標(biāo)，并自上而下地平衡和協(xié)調(diào)各個(gè)項(xiàng)目的資源使用，從而使得企業(yè)的有限資源得到最大化地利用是項(xiàng)目組合資源優(yōu)化管理中一大難題。

在實(shí)際問(wèn)題中，項(xiàng)目管理辦公室可能會(huì)同時(shí)考慮以下這些方面都達(dá)到最優(yōu)：項(xiàng)目Ａ完工時(shí)間必須最短，項(xiàng)目Ｂ預(yù)算成本最低，項(xiàng)目Ｃ質(zhì)量最好，項(xiàng)目Ｄ所使用的人員最少等。在這種情況下，往往很難利用線性規(guī)劃來(lái)解決問(wèn)題。因?yàn)榫€性規(guī)劃只研究在滿足一定條件下，單一目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解。這個(gè)最優(yōu)解若是超過(guò)了實(shí)際的需要，很可能是以過(guò)分地消耗了約束條件中的某些資源作為代價(jià)。線性規(guī)劃把各個(gè)約束條件的重要性都不分主次地等同看待，這也不符合項(xiàng)目群中各個(gè)項(xiàng)目的優(yōu)先級(jí)往往不同的實(shí)際情況。

為了彌補(bǔ)線性規(guī)劃問(wèn)題的局限性，解決有限資源和計(jì)劃指標(biāo)之間的矛盾，在線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，建立多目標(biāo)規(guī)劃方法，從而使一些線性規(guī)劃無(wú)法解決的問(wèn)題得到滿意的解答。 先將目標(biāo)等級(jí)化：將目標(biāo)按重要性的程度不同依次分成一級(jí)目標(biāo)、二級(jí)目標(biāo)，…，最次要的目標(biāo)放在次要的等級(jí)中。我們可以把目標(biāo)優(yōu)先級(jí)作如下約定：

• 對(duì)同一個(gè)目標(biāo)而言，若有幾個(gè)決策方案都能使其達(dá)到，可認(rèn)為這些方案就這個(gè)目標(biāo)而言都是最優(yōu)方案；若達(dá)不到，則與目標(biāo)差距越小的越好。
• 不同級(jí)別的目標(biāo)的重要性是不可比的。即較高級(jí)別的目標(biāo)沒(méi)有達(dá)到的損失，任何較低級(jí)別的目標(biāo)上的收獲都不可彌補(bǔ)。所以在判斷最優(yōu)方案時(shí)，首先從較高級(jí)別的目標(biāo)達(dá)到的程度來(lái)決策，然后再其次級(jí)目標(biāo)的判斷。
• 同一級(jí)別的目標(biāo)可以是多個(gè)。各自之間的重要程度可用數(shù)量（權(quán)數(shù)）來(lái)描述。因此，同一級(jí)別的目標(biāo)的其中一個(gè)的損失，可有其余目標(biāo)的適當(dāng)收獲來(lái)彌補(bǔ)。
• 若多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的解能使所有的目標(biāo)都達(dá)到，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解；若解只能滿足部分目標(biāo)，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的次優(yōu)解；若找不到滿足任何一個(gè)目標(biāo)的解，就稱該問(wèn)題為無(wú)解。

線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(LMP)的數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)型為：
min Z = C Y
s.t AX + Y’+ Y” = b
X，Y，Y’ Y” > 0

這里 C、Y、A、X、Y’、Y” 、 b均為矩陣或向量的形式。

與線性規(guī)劃相比，多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)在于：

1、 偏差列向量Y’ 、Y” 。Y’ 、Y” 分別為 負(fù)、正偏差列向量，各有 m（m是約束方程的個(gè)數(shù)）個(gè)元素Y’、Y” 。負(fù)偏差變量的經(jīng)濟(jì)含義為當(dāng)實(shí)際值小于目標(biāo)值時(shí)，實(shí)際值與目標(biāo)值的偏差為負(fù)偏差，正偏差變量的經(jīng)濟(jì)含義與之恰恰相反。
2、 價(jià)值系數(shù)行向量C。C的元素最多不超過(guò) 2m個(gè)，由目標(biāo)優(yōu)先權(quán)等級(jí) Pi和目標(biāo)優(yōu)先權(quán)系數(shù)η組成，即 C = (c1,c2…，c2m） = (η[1] * P[1], η[2] * P[2],..., η[2m] * P[2m])。目標(biāo)優(yōu)先權(quán)排序 P[1],P[2]，…，P[2m]給出了多目標(biāo)規(guī)劃迭代過(guò)程中實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的順序。在實(shí) 現(xiàn)某一優(yōu)先級(jí)目標(biāo)后，應(yīng)依順序考慮一個(gè)優(yōu)先級(jí)能否實(shí)現(xiàn)。但是不能為實(shí)現(xiàn)較低目標(biāo)而使較高級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)受到影響。
3、 在多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中，出現(xiàn)的變量 只能是偏差變量。也就是說(shuō)，列向量 y以正偏差變量和負(fù)偏差變量為元素。目標(biāo)優(yōu)先權(quán)等級(jí) P[i]既不是變量，也不是常數(shù)，它只是說(shuō)明不同目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的先后順序，這種優(yōu)先等級(jí)的確定一般是由企業(yè)決策部門(mén)根據(jù)企業(yè)具體情況及各目標(biāo)的輕重緩急加以確定 的。而目標(biāo)優(yōu)先級(jí)系數(shù)，則說(shuō)明同一優(yōu)先級(jí)目標(biāo)相互之間的比例關(guān)系。
4、 由于多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是向量值函數(shù)，一般情況下不存在通常意義的最優(yōu)解。因此多目標(biāo)規(guī)劃主要考慮使問(wèn)題的向量目標(biāo)在某種意義下非劣的有效解。而在無(wú)窮多個(gè)有效解中，我們必須根據(jù)決策者的滿意程度在有效集中尋找到最終滿意解。

多目標(biāo)規(guī)劃的解法主要有單純形法和圖解法。圖解法一般只適用于兩個(gè)決策變量的情形。單純形法對(duì)于求解多目標(biāo)規(guī)劃有普遍意義，是一種較為傳統(tǒng)的方法。該算法沿可行域逐步搜索極點(diǎn)，直至得到所有的有效解，然后再根據(jù)偏好從中選擇一個(gè)滿意解。在這一過(guò)程，決策者并未參與其中，使得搜索過(guò)程顯得繁瑣且計(jì)算量大。

在實(shí)際工作中，項(xiàng)目管理辦公室可以采用交互式單純型算法讓決策者參與搜索過(guò)程，每次選擇最適合自己偏好的進(jìn)基向量，這樣每次得到的既是有效的極點(diǎn)解，又向著最終滿意解不斷得到改善，直至最終得到滿意的解。具體算法步驟如下：

(i) 構(gòu)造LMP問(wèn)題，并求出一個(gè)初始有效極點(diǎn)解x’及對(duì)應(yīng)的基Ｂ；
(ii) 建立對(duì)應(yīng)于基Ｂ的單純型表，計(jì)算n個(gè)目標(biāo)函數(shù)在x’　處的函數(shù)值Z=(z[1], z[2], ..., z[n])，如果決策者滿意，則得到最終的滿意解，否則轉(zhuǎn)(iii);
(iii) 決策者根據(jù)理想點(diǎn)和偏好給出目標(biāo)函數(shù)值的增減量Z’=(z[1]’, z[2]’, ..., z[n]’)，并求出x’的所有相鄰有效極點(diǎn)解，構(gòu)成有效變量集K’，并根據(jù)K’做凸規(guī)劃，得到弱有效解子集G。
(iv) 從G中，挑選出有限個(gè)讓決策者滿意的解。并隨機(jī)給定一組系數(shù)來(lái)構(gòu)造
Q ={λ[1], λ[2],..., λ[n]},
λ[i] 取值在[0,1]之間，且∑ λ[i] = 1，從而到得
x”={ λ[1] * X[1] + λ[2] * X[2], ..., λ[n] * X[n] }。
若x”的正負(fù)符號(hào)與(iii)中一致，則轉(zhuǎn)(vi)，否則轉(zhuǎn)(v)；
(v) 對(duì)Ｑ進(jìn)行優(yōu)先排序或加權(quán)優(yōu)先排序，并重新計(jì)算Z，如果該解可以被決策者接受，轉(zhuǎn)(vi)，否則轉(zhuǎn)(iii).
(vi) 接受可行解Z，并加以分析。

以上交互式規(guī)劃法雖然不能給出全部解，但可以保證每一步得到的解均為有效的極點(diǎn)解。而且在實(shí)現(xiàn)上容易用編程來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而在項(xiàng)目組合中的項(xiàng)目計(jì)劃和篩選決策中起一定的輔助作用。

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